全国高考理综卷二卷子(2009全国2理综卷物理最后一道大题)

26(21分)

如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔，如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高，重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G

（1）?设球形空腔体积为V，球心深度为d远小于地球半径R，PQ=x求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

（2）?若在水平地面上半径L的范围内发现，重力加速度反常值在δ与kδ，k>1之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心,如果这种反常是于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积

（1）逆向思维。填满岩石就回到正常值，则反常就是这部分岩石的引力引起的！

GMm/r^2=m△g，△g=GM/r^2

M是这部分岩石的质量M=ρV，△g=GM/r^2=GρV/r^2

r^2=d^2+x^2

重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”

重力加速度反常△g'=△gsin∠PQO=△g*d/r

=GρVd/r^3=GρVd/[√(d^2+x^2)]^3=GρVd/(d^2+x^2)^(3/2).

（2）对照图：

重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，则重力加速度反常最大值kδ就是在P点！最小值δ就是在Q点！PQ=x=L！

S=GρVd/(d^2+L^2)^(3/2)

x=0就是最小值：kδ=GρVd/(d^2)^(3/2)=GρV/d^2

k=kδ/δ=[(d^2+L^2)^(3/2)]/d^3=[(d^2+L^2)/d^2]^(3/2)

=[1+(L/d)^2]^(3/2)

1+(L/d)^2=k^(2/3)，L/d=√[k^(2/3)-1]，d=L/√[k^(2/3)-1].

kS=GρV/d^2

V=kδd^2/Gρ=kδL^2/Gρ[k^(2/3)-1].