节点法的原理

使用节点法进行结构分析的编程方法

节点法也被称为有限元方法，是进行结构分析的一种常用方法。在节点法中，结构被分割成许多小的单元，在每个单元内部建立本地坐标系，将结构的全局坐标系映射成这些本地坐标系。使用这些本地坐标系可以计算出局部应力、局部位移和局部刚度等参数，最后再将它们组合成全局的参数。

下面将详细介绍使用节点法进行结构分析的编程方法。

一、构建单元刚度矩阵

节点法的核心是将结构划分成小的单元，在计算中使用单元刚度矩阵，并将其组装成全局刚度矩阵。因此，首先需要构建单元刚度矩阵。以三角形单元为例，其刚度矩阵的计算公式如下：

$$k_{e}=\frac{E_{A}}{2|\Delta|}\begin{bmatrix}a^{2} & a b & a^{2} & a b\\a b & b^{2} & a b & b^{2}\\a^{2} & a b & a^{2} & a b\\a b & b^{2} & a b & b^{2}\\\end{bmatrix}$$

其中，$E$为杨氏模量，$A$为截面积，$\Delta$为单元面积，$(a, b)$为该单元边的方向向量，$k_e$为单元刚度矩阵。

二、组装全局刚度矩阵

组装全局刚度矩阵需要将单元刚度矩阵组装成全局刚度矩阵。通常采用单元法进行组装。具体来说，可以按照以下步骤进行：

1. 建立单元与节点之间的关系，以保证每个节点都只被计算一次。

2. 对每个单元，将单元刚度矩阵组装到全局刚度矩阵中的对应位置。

3. 对于每个节点，根据它所包含的单元，将它所在的单元的刚度矩阵都加入到它所在节点的载荷向量中。

三、求解全局位移

求解全局位移需要解决一个线性方程组：

$$K U = F$$

其中，$K$为全局刚度矩阵，$U$为全局位移向量，$F$为全局载荷向量。

可以使用LU分解方法来解这个方程组，将其转化为以下形式：

$$L U U_{1} = F$$

其中，$L$为下三角矩阵，$U$为上三角矩阵，$U_1$为变换后的载荷向量。

四、计算单元应力和反力

使用节点法计算单元应力和反力需要先求出单元的应变与位移。以三角形单元为例，其位移的计算公式为：

$$\begin{bmatrix}u_{1} & v_{1} & u_{2} & v_{2} & u_{3} & v_{3}\\\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}1 & x_{1} & y_{1} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & x_{1} & y_{1}\\1 & x_{2} & y_{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & x_{2} & y_{2}\\1 & x_{3} & y_{3} &